Szereg diatoniczny a ciąg Fibonacciego

Jan Krutul

Ciąg Fibonacciego to jedna z najbardziej niezwykłych struktur matematycznych. Kolejne wyrazy ciągu są sumą dwóch poprzednich, a ich stosunek wobec siebie wyznacza złotą proporcję. Zależności obecne w ciągu Fibonacciego można zaobserwować w przyrodzie zarówno w mikro jak i makroskali – w układzie liści, liczbie płatków kwiatów czy liczbie gałęzi (zobacz: spiralna filotaksja¹). Złotą spiralę zaś znajdziemy zarówno w małej muszli ślimaka jak i kształcie galaktyk. Zachwycające piękno natury, które objawia się w niezwykłym, zaplanowanym porządku, od wieków jest źródłem rozważań myślicieli i badaczy, ale także źródłem inspiracji artystycznych. Czy matematyka daje się przekuć na dźwięki? Krzysztof Penderecki mówił, że „muzyka jest zmatematyzowaną emocją”². Poszukajmy zatem muzyki w ciągu Fibonacciego (czy też Fibonacciego w muzyce).

Podstawą tych rozważań ze sfery muzyki będzie inny, zachwycający ciąg – szereg diatoniczny. Absolutnie zachwycający! Przypomnijmy, że szereg diatoniczny (inaczej zasadniczy³) to szereg dźwięków odpowiadający białym klawiszom fortepianu poczynając od dźwięku c.

Im dłużej działam w muzyce, tym więcej zależności w nim odkrywam, a logika tego porządku całych tonów i półtonów jest wysoce kunsztowną i precyzyjną strukturą. Czy zauważyliście na przykład, że wszystkie interwały (oprócz czystych) zbudowane w szeregu diatonicznym od C w górę są wielkie, a w dół małe? Ale to zupełnie inny temat…

Nasze rozważania będą miały charakter mocno konceptualny, ale – podobnie jak w działaniach matematycznych – przełożymy to na realne zastosowanie. Skoro matematyka jest nieskończona, my na początek wyobraźmy sobie nieskończoną klawiaturę. Ponumerujmy białe klawisze, rozpoczynając od dźwięku c i wskażmy te, odpowiadające kolejnym liczbom ciągu Fibonacciego.

Przyglądając się wnikliwie, można zauważyć, że od 17. liczby układ klawiszy się powtarza. Mamy więc do czynienia z 16-dźwiękową strukturą: C D E G C A H A A G F D A C H C. Podzielmy tę strukturę na dwie części. Reprezentacja dźwiękowa po sprowadzeniu do jednej oktawy będzie następująca:

Spróbujmy zatem zrobić to samo, numerując klawisze od C w dół. Darujmy sobie tabelkę, to logiczne, że uzyskamy analogiczną strukturę w inwersji względem dźwięku C:

C H A F C E D E E F G H E C D C

No dobrze, mamy melodię, mamy jej lustrzane odbicie, i co z tego? To ciekawe, że z ciągu Fibonacciego powstała powtarzająca się melodia, ale co dalej?

Spróbujmy zestawić ze sobą obie struktury. Kolejna zależność jest już trudniejsza do zauważenia.

Okazuje się, że I połowa ciągu poprowadzonego w górę oraz II połowa ciągu poprowadzonego w dół pozostają ze sobą w stosunku tercji (są paralelne). Analogicznie oczywiście II połowa ciągu w górę i I połowa ciągu w dół. Nie wynika to bynajmniej z lustrzanego odbicia tych sekwencji!

Wróćmy do pojedynczej melodii poprowadzonej w górę. Geometryczną reprezentacją ciągu Fibonacciego jest złota spirala, która oparta jest na kwadratach. Zestawmy więc ze sobą te dwie rzeczy! Na spiralę kolejno nanieśmy 16 dźwięków sekwencji (kolejne dźwięki byłyby analogiczne). Poniżej uproszczony rysunek poglądowy.

Spirala podzieliła sekwencję na cztery części:

• W górnej znalazły się dźwięki C C A A
• W dolnej E H F H
• W prawej i lewej kolejno: D A G C  i  G A D C

Zauważmy, że bazujemy na gamie C-dur. W poprzednim zestawieniu ciągu prowadzonego w dół i w górę pojawiła się paralelna właściwość sekwencji, czyli dotknęliśmy gamy a-moll. W górnej części spirali mamy dźwięki C C i A A, czyli tonikę durowej i molowej skali!

Na przeciwległym biegunie znalazły się dźwięki E H F H. Są to te dźwięki, które w skali durowej odpowiadają za dysonanse: H – dźwięk prowadzący oraz E-F drugi półton! Zauważcie, że nie pojawiają się one już nigdzie więcej!

Po prawej i lewej stronie równoważą się dźwięki C G D A – to z kolei współbrzmienia kwartowo-kwintowe, czyste konsonanse. Co więcej, wg tych dźwięków strojone są m.in. altówka i wiolonczela.

Spirala podzieliła więc sekwencję na płaszczyzny, umieszczając w nich wszystkie dźwięki skali wg logicznego porządku.

Ale czy ma to realne przełożenie na muzykę? Na utwory?

Motywy zbudowane na tych mikrostrukturach stały się podstawą materiału dźwiękowego w Missa brevis na ośmiogłosowy chór mieszany a cappella (2015). Począwszy od pierwszej części Kyrie – inicjujący utwór dysonansowy zstępujący motyw h-f-e został zestawiony z kwintowym motywem wstępującym d-a-g-c.

Z kolei szesnastodźwiękowa sekwencja wyprowadzona bezpośrednio z ciągu Fibonacciego stała się materiałem muzycznym dla kompozycji Fibonaction na akordeon, klawesyn, marimbę i czelestę (2014). W Fibonaction struktury melodyczne i rytmiczne (również wyprowadzone z ciągu według długości trwania dźwięków) zagęszczają się, tworząc ze sobą wielowarstwowe układy. Motyw staje się genomem, na bazie którego wyrasta organiczna konstrukcja. Stopniowo fraktale formy zaczynają odrywać się od siebie coraz mniejszymi cząstkami, z których każda zawiera swój własny wszechświat.

Posłuchaj Fibonaction⁴:

Ciąg Fibonacciego w zderzeniu z szeregiem diatonicznym otwiera zupełnie nową przestrzeń dla interpretacji relacji dźwiękowych w skali durowej. Okazuje się, że matematyczne struktury wraz ze swoim ładem i porządkiem potrafią stać się źródłem twórczych inspiracji, a wewnętrzne zależności mogą, w połączeniu z idiomem twórczym autora, w organiczny sposób wpłynąć na dzieło i jego finalny kształt.

Czy muzyka jest liczbą? Na pewno jest emocją. Tak, zmatematyzowaną emocją.

Źródła

1. https://pl.wikipedia.org/wiki/Ulistnienie
2. https://www.ruchmuzyczny.pl/article/585-komponowanie-parku-z-niewiadoma
3. https://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_zasadniczy
4. Utwór Fibonaction w wykonaniu: Jakub Stefek, Olga Paciej, Radosław Mysłek, Przemysław Wojciechowski. Realizacja nagrania: Kinga Zuchowicz.